Question

已知等差数列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 为其前n 项和，S₅=

35

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n＜m 对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n．
（2）由b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n- 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出最小正整数m的值为5．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 为其前n项和，S₅=

35

3

，
∴

a1+d+a1+5d=6 5a1+10d= 35 3

，
解得a1=1，d=

2

3

，
∴a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）∵n≥2时，b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n- 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
当n=1时，上式成立，
∴S_n=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

9

2

(1-

1

2n+1

)，
∵

9

2

(1-

1

2n+1

)随n递增，且

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

，

9

2

≤m，m∈Z₊，
∴m≥5，∴最小正整数m的值为5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小的正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．