Question

设函数f(x)=x•(

1

2

)x+

1

x+1

，点A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，O为坐标原点，向量

e

=（1，0）．记θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角，S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角的正切，即为直线OA_n的斜率，运用斜率公式可得tanθ_n=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，再由数列求和方法：分组求和，分别运用等比数列的求和公式和裂项相消求和得到S_n=2-

1

2n

-

1

n+1

，再由数列极限的求法即可得到．

解答： 解：由题意可得A_n（n，n•（

1

2

）ⁿ+

1

n+1

），即有

OAn

=（n，n•（

1

2

）ⁿ+

1

n+1

），
θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角，则有tanθ_n=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，
则有S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（

1

2

+

1

1×2

）+（

1

4

+

1

2×3

）+…+[（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

]
=（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+1-

1

n+1

=2-

1

2n

-

1

n+1

，
则

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

（2-

1

2n

-

1

n+1

）=2-0-0=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了由向量求夹角，数列的求和方法和极限的求法，解题的关键是认真审题得出tanθ_n的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键