Question

（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．若AB=BC=2，则CD=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：由已知条件推导出△CED∽△CBE，从而CE²=CD•CB，由OB=1，BC=2，得CE=OC-OE=

5

-1，由此能求出CD的长．

解答： 解：连接BE，∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠AEO，
∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CBE，
∴

CE

CB

=

CD

CE

，∴CE²=CD•CB，
∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1，
由CE²=CD•CB，得：（

5

-1）²=2CD，解得CD=3-

5

．
故答案为：3-

5

．

点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．