Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，h（x）=sin（x+

π

3

）；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log

1

2

x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据生成函数的定义进行判断，看是否存在适合条件的a，b的值；
（Ⅱ）先化简得到h（x）=log₂x，由x∈[2，4]知s=log₂x∈[1，2]，从而得到t＜-3h2(x)-2h(x)=-3lo

g

2 2

x-2log2x的最大值-5．

解答： 解：（Ⅰ）①设asinx+bcosx=sin(x+

π

3

)，即asinx+bcosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
取a=

1

2

，  b=

3

2

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．
②设a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²-（a-b）x+b=x²-x+1，
则

a+b=1 -a+b=-1 b=1

，该方程组无解．所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数． 

（Ⅱ）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即当x∈[2，4]时有t＜-3h2(x)-2h(x)=-3lo

g

2 2

x-2log2x
设s=log₂x，则由x∈[2，4]知s∈[1，2]，
令y=-3lo

g

2 2

x-2log2x=-3s2-2s=-3(s+

1

3

)2+

1

3

，
则y_max=-5，故t＜-5．

点评：本题考查了抽象函数的概念以及二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题．