Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，AC⊥BD，F是PC的中点，∠BAC=60°，PD⊥平面ABC．
（1）求证：BF⊥CD；
（2）若平面PAB与平面PCD的夹角为45°，AC=2，求PD的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AC∩BD=O，AO=x，由已知得AB=2x，OC=3x，OB=

3

x，BC=2

3

x，BD=2

3

x，取DC中点E，连结EF，BE，由已知得EF⊥DC，BE⊥DC，由此能证明BF⊥CD．
（2）设P（0，0，t），t＞0，求出平面PAB的法向量

n

=（1，-

3

3

，

1

t

），平面PCD的法向量

m

=（1，0，0），由此利用平面PAB与平面PCD的夹角为45°，能求出PD=

6

3

．

解答： （1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，
∴DA⊥DC，AB⊥BC，∵PD⊥平面ABC．
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，设AC∩BD=O，AO=x，
∵AC⊥BD，F是PC的中点，∠BAC=60°，
∴AB=2x，OC=3x，OB=

3

x，BC=2

3

x，
设AC中点为H，则HO=2x-x=x，DH=2x，
∴DO=

DH2-HO2

=

3

x，∴BD=2

3

x，∴BD=BC，
取DC中点E，连结EF，BE，
∵F中PC中点，PD⊥DC，∴EF⊥DC，BE⊥DC，
又BE∩EF=E，∴DC⊥平面BEF，
又BF?平面BEF，∴BF⊥CD．
（2）解：∵AC=2，∴AB=1，BD=BC=

3

，AD=1，
∴A（1，0，0），B（

3

2

，

3

2

，0），设P（0，0，t），t＞0
则

PA

=（1，0，-t），

PB

=（

3

2

，

3

2

，-t），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =x-tz=0 n • PB = 3 2 x+ 3 2 y-tz=0

，取x=1，得

n

=（1，-

3

3

，

1

t

），
又平面PCD的法向量

m

=（1，0，0），平面PAB与平面PCD的夹角为45°，
∴cos45°=|cos＜

m

.

n

＞|=|

1

4 3 +t2

|，
由t＞0，解得t=

6

3

，
∴PD=

6

3

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．