Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且|

a

-

b

|=

7

7

．
（1）求sin（

π

2

-α）cos（2π-β）-sin（π+α）cos（β-

π

2

）的值；
（2）若cosα=

1

7

，且0＜β＜α＜

π

2

，求β的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的余弦公式即可得出；
（2）由0＜β＜α＜

π

2

，cosα=

1

7

，可得0＜α-β＜

π

2

，sinα=

1-cos2α

，sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

．利用sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∵|

a

-

b

|=

7

7

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

7

7

，
化为cos（α-β）=

13

14

．
∴sin（

π

2

-α）cos（2π-β）-sin（π+α）cos（β-

π

2

）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

13

14

．
（2）∵0＜β＜α＜

π

2

，cosα=

1

7

，
∴0＜α-β＜

π

2

，sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

．
∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

4 3

7

×

13

14

-

1

7

×

3 3

14

=

3

2

．
∴β=

π

3

．

点评：本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．