Question

已知x，y，z均为正数，且x+y+z=1，求证：

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

≥1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：运用重要不等式，结合累加法可得，y²z²+x²z²+x²y²≥xyz²+x²yz+xy²z，再由条件和不等式的性质，即可得证．

解答： 证明：由于y²z²+x²z²≥2xyz²，
x²z²+x²y²≥2x²yz，
y²z²+x²y²≥2xy²z，
相加可得，y²z²+x²z²+x²y²≥xyz²+x²yz+xy²z，
由于x，y，z均为正数，且x+y+z=1，
则有xyz²+x²yz+xy²z=xyz（x+y+z）=xyz，
即有y²z²+x²z²+x²y²≥xyz，
则有

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

≥1．

点评：本题考查不等式的证明，主要考查运用重要不等式和不等式的基本性质，运用累加法证明是解题的关键．