Question

已知向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60⁰，实数x，y满足|x

a

+y

b

|=

3

，那么x+2y的最大值为（　　）

• A、3
• B、

  3

• C、2

  3

• D、

  5

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60⁰，可得|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=1×1×cos60°=

1

2

．由|x

a

+y

b

|=

3

，可得x²+y²+xy=3，设x+2y=t，则x=t-2y，可得3y²-3ty+t²-3=0，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：∵向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60⁰，
∴|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=1×1×cos60°=

1

2

．
∵|x

a

+y

b

|=

3

，
∴

x2+y2+2xy× 1 2

=

3

，
化为x²+y²+xy=3，
设x+2y=t，则x=t-2y，
∴（t-2y）²+y²+（t-2y）y=3，
化为3y²-3ty+t²-3=0，
∵y∈R，
∴△=9t²-12（t²-3）≥0，
解得|t|≤2

3

，
∴t即x+2y的最大值为2

3

．
故选：C．

点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．