Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=

2

2

AB．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点F，由三角形中位线定理得BC₁∥DF，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）以C为坐标原点，

CA

的方向为x轴正方向，

CB

的方向为y轴正方向，

CC1

的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz．分别求出平面A₁CD的法向量和平面A₁CE的法向量，利用向量法能求出二面角D-A₁C-E的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC₁交A₁C于点F，
则F为AC₁的中点．又D是AB的中点，
连接DF，则BC₁∥DF．
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）解：由AC=CB=

2

2

AB，得AC⊥BC．
以C为坐标原点，

CA

的方向为x轴正方向，

CB

的方向为y轴正方向，

CC1

的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
设CA=2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），

CD

=（1，1，0），

CE

=（0，2，1），

CA1

=（2，0，2）．
设

n

=（x₁，y₁，z₁）是平面A₁CD的法向量，
则

n • CD =x1+y1=0 n • CA1 =2x1+2z1=0

，取x₁=1，得

n

=（1，-1，-1）．
同理，设

m

=（x₂，y₂，z₂）是平面A₁CE的法向量，
则

m • CE =2y2+z2=0 m • CA1 =2x2+2z2=0

，取x₂=2，得

m

=（2，1，-2）．
从而cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

3

，故sin＜

n

，

m

＞=

6

3

．
即二面角D-A₁C-E的正弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．