Question

已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为棱形且∠DAB=

π

3

．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AD中点O，连结PO，BO，由等边三角形性质得PO⊥AD，由菱形性质得BO⊥AD，从而AD⊥平面POB，由此能证明PB⊥AD．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，求出平面PAB的法向量和平面PCD的法向量，由此利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AD上点O，连结PO，BO，
∵侧面PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，
∵底面ABCD为棱形且∠DAB=

π

3

，
∴BO⊥AD，又PO∩BO=O，
∴AD⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴PB⊥AD．
（Ⅱ）解：∵四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，又OA⊥OB，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，设AB=2，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

），
C（-2，

3

，0），D（-1，0，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =x- 3 z=0 n • PB = 3 y- 3 z=0

，取y=

3

，得

n

=（3，

3

，

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），

PD

=（-1，0，-

3

），
设平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC =-2a+ 3 b- 3 c=0 m • PD =-a- 3 c=0

，取c=

3

，得

m

=（-3，-

3

，

3

），
设平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

-9-3+3

15 • 15

|=

3

5

．
平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值为

3

5

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．