Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD=4，已知AD=5，BC=4，CD=

3

，点E，F分别在AB，AD上，且EF⊥AB，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，使A′E⊥EB，连接A′B，A′C，A′D
（1）求证：A′E⊥平面BCDFE；
（2）试确定点E的位置，使平面A′EF与平面A′BC所成的二面角的余弦值为

3

4

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得A′E⊥EB，A′E⊥EF，由此能证明A′E⊥平面BCDFE．
（2）以E为原点，EF为x轴，EB为y轴，EA′为z轴，建立空间直角坐标系，设BE=t，则EA′=2-t，0＜t＜2，分别求出平面BCA′的法向量和平面A′EF的法向量，由此利用向量法能求出当BE=2-

2 3

7

时，平面A′EF与平面A′BC所成的二面角的余弦值为

3

4

．

解答： （1）证明：∵点E，F分别在AB，AD上，且EF⊥AB，
沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，使A′E⊥EB，
∴A′E⊥EB，A′E⊥EF，
又EB∩EF=E，∴A′E⊥平面BCDFE．
（2）∵EF⊥AB，A′E⊥平面BCDFE，
∴以E为原点，EF为x轴，EB为y轴，EA′为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，
AD=5，BC=4，CD=

3

，∴AB=2，
设BE=t，则EA′=2-t，0＜t＜2，
∴E（0，0，0），A′（0，0，2-t），F（4-2t，0，0），
B（0，t，0），C（

4 3

3

，t+

2 3

3

，0），

BA′

=（0，-t，2-t），

BC

=（

4 3

3

，

2 3

3

，0），
设平面BCA′的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA′ =-ty+(2-t)z=0 n • BC = 4 3 3 x+ 2 3 3 y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-2，

2

t-2

），
又平面A′EF的法向量

m

=（0，1，0），平面A′EF与平面A′BC所成的二面角的余弦值为

3

4

．
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

5+( 2 t-2 )2

|=

3

4

，
由0＜t＜2，解得t=2-

2 3

7

，
∴当BE=2-

2 3

7

时，平面A′EF与平面A′BC所成的二面角的余弦值为

3

4

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线面垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．