Question

已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx-

1

2

)，函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)，下列四个命题：
①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π；
②当x=

π

8

时，f（x）有最小值2-

2

2

；
③[-

7π

8

，-

3π

8

]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④点(-

π

8

，2)是函数f（x）的一个对称中心．
正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)=-

2

2

sin(2x+

π

4

)+2．再利用三角函数的图象与性质即可判断出正误．

解答： 解：∵函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)=(sinx，1)•(sinx-cosx，

3

2

)=sin2x-sinxcosx+

3

2

=

1-cos2x

2

-

1

2

sin2x+

3

2

=-

2

2

sin(2x+

π

4

)+2．
对于①：函数f（x）的周期为

2π

2

=π，∴①为错误的；
对于②：当sin(2x+

π

4

)=1时，f（x）取得最小值-

2

2

+2，此时2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，(k∈Z)，即x=

π

8

+kπ，(k∈Z)，当k=0时，x=

π

8

，∴②为正确的；对于③：令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)，∴函数f（x）的增区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ](k∈Z)，
当k=-1时，函数f（x）的增区间为[-

7π

8

，-

3π

8

]，∴③为正确的；
对于④：令2x+

π

4

=kπ（k∈Z），解得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，∴函数f（x）的对称中心为(-

π

8

+

kπ

2

，2)(k∈Z)，当k=0时，得点(-

π

8

，2)是函数f（x）的一个对称中心，∴④为正确的．
综上所述，②③④是正确的命题．
故选：D．

点评：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．