Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，则f（1）=2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=2求得m的值，可得函数的解析式；再根据函数的关于原点对称，f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，利用函数的单调性的定义进行证明．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x+

m

x

，则f（1）=2，∴1+m=2，求得 m=1，
故f（x）=x+

1

x

，它的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
再根据f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：
设x₂＞x₁＞1，∵f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=（x₂-x₁）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）•（1-

1

x1•x2

），
由题设x₂＞x₁＞1，可得x₂-x₁＞0，

1

x1•x2

∈（0，1），1-

1

x1•x2

＞0，
∴（x₂-x₁）•（1-

1

x1•x2

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题主要求函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于基础题．