Question

已知单调递增的等比数列{a_n}中，a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
（1）求a_n
（2）设b_n=log

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，利用等比数列的通项公式和等差中项的性质列出方程，结合条件求出等比数列的首项、公比，再求出a_n；
（2）由（1）和对数的运算求出b_n，利用等差数列的前n项和公式求出S_n．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，
因为a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
所以

a1q+a1q2+a1q3=28 2(a1q2+2)=a1q+a1q3

，解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
因为等比数列{a_n}是递增数列，所以

a1=2 q=2

，
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=log

1

2

a_n=b_n=log

1

2

2ⁿ=-n，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1+2+3+…+n）=-

n(1+n)

2

，
即S_n=-

n(1+n)

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式，等差中项的性质，以及等差数列的前n项和公式，考查方程思想和计算能力．