Question

已知，

m

=（2cosωx+2

3

sinωx，1），

n

=（cosωx，-2），若函数f（x）=

m

•

n

的图象的一个对称中心为（

π

12

，-1），其中|ω|≤1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对应的边长，若f（

A

2

）=-2，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的对称中心，计算即可得到f（x）的解析式；
（2）由A为三角形的内角，结合条件可得A=

π

3

，再由余弦定理和面积公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）由

m

=（2cosωx+2

3

sinωx，1），

n

=（cosωx，-2），
则函数f（x）=

m

•

n

=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-2=cos2ωx+

3

sin2ωx-1
=2sin（2ωx+

π

6

）-1，
由f（x）的图象的一个对称中心为（

π

12

，-1），
即有

π

6

ω+

π

6

=kπ，即为ω=6k-1，（k∈Z），
由于|ω|≤1，即有ω=-1．
则f（x）=2sin（-2x+

π

6

）-1；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（-2x+

π

6

）-1，
故f（

A

2

）=-1+2sin（-A+

π

6

）=-2，
解得sin（-A+

π

6

）=-

1

2

，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由A为三角形的内角，
可得A-

π

6

=

π

6

，解得A=

π

3

，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bccosA，
化简可得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
解得bc=4，
故△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4sin

π

3

=

3

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，主要考查正弦函数的图象和性质，同时考查余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．