Question

如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=

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AC，AE=

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AB，BD，CE相交于点F．
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正三角形ABC的边长为3，求A，E，F，D所在圆的半径．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）由已知得BE=

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AB，AD=BE，△BAD≌△CBE，从而∠ADB=∠BEC，进而∠ADF+∠AEF=π，由此能证明A，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）取AE中点G，连结GD，则GA-GE=

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2

AE，由已知得△AGD为正三角形，从而GA=GE=GD=1，能求能求出A，E，F，D所在圆的半径为1．

解答： （Ⅰ）证明：∵AE=

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AB，∴BE=

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AB，
在正△ABC中，AD=

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AC，∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，
∴A，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）解：如图，取AE中点G，连结GD，则GA-GE=

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AE，
∵AE=

2

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AB，∴GA=GE=

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AB=1，
∵AD=

2

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AC=1，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，
∴GD=AG=AD=1，即GA=GE=GD=1，
∴G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为1，
∴A，E，F，D所在圆的半径为1．

点评：本题考查四点共圆的证明，考查圆半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．