Question

已知函数f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-2sin²

x

2

+1．
（Ⅰ）若f（a）=

6

5

，求cos（

π

3

-α)的值；
（Ⅱ）把函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移m（m＞0）个单位，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）为偶函数，求m的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=2sin（x+

π

6

），由已知数据和诱导公式可得；
（Ⅱ）由函数图象变换可得g（x）=2sin(

1

2

x+

m

2

+

π

6

)，由偶函数可得

m

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，由题意可得m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-2sin2

x

2

+1=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
∵f（a）=

6

5

，
∴sin(α+

π

6

)=

3

5

，
∴cos(

π

3

-α)=sin[

π

2

-(

π

3

-α)]=sin(α+

π

6

)=

3

5

，

（Ⅱ）依题意得g(x)=2sin[

1

2

(x+m)+

π

6

]=2sin(

1

2

x+

m

2

+

π

6

)
∵函数g（x）为偶函数，
∴

m

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴m=2kπ+

2π

3

，
又m＞0，
∴当k=0时，m取最小值

2π

3

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数图象的变换，属基础题．