Question

已知点A、B、C都在球面上 且球心O到平面ABC的距离等于球的半径的

1

2

，而AB=2，AC=2

2

，BC=2

3

，设三棱椎O-ABC的体积为V₁，球的体积为V₂，求

V1

V2

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出三棱椎O-ABC的体积为V₁，球的体积为V₂，从而求

V1

V2

．

解答： 解：由题意AB=2，AC=2

2

，BC=2

3

，∵AB²+AC²=BC²，可知三角形是直角三角形，
三角形的外心是BC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，
设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，
所以R²=（

1

2

R）²+3²，
解得R²=36，
∴V₂=144π，V₁=

1

3

×

1

2

×2×2

2

×3=2

2

，
∴

V1

V2

=

2 π

72

．

点评：本题是中档题，考查球的内接多面体，找出球的半径满足的条件是解题的关键．