Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，且2

Sn

=a_n十1，n∈N^*
（1）试求数列{a_n}的通项公式，
（2）设b_n=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为B_n，求证：B_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得4Sn=an2+2an+1，从而a₁=1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，进而{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法能证明B_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵正项数列{a_n}的前n项和S_n，且2

Sn

=a_n十1，n∈N^*，
∴4Sn=an2+2an+1，
∴n=1时，4a₁=a₁²+2a₁+1，解得a₁=1，
当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=an2+2an-an-12-2an-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，
∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）证明：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴B_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．