Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l₁、l₂，点P在第一象限内且在l₁上，若PA⊥l₂，PB∥l₂，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m，

b

a

m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（-a，0）、B（a，0），
渐近线分别为l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x．
设P（m，

b

a

m），若PA⊥l₂，PB∥l₂，
则

b a m

m+a

•(-

b

a

)=-1①，且

b a m

m-a

=-

b

a

，②
由②可得m=

a

2

，
代入①可得b²=3a²，
即有c²-a²=3a²，即c=2a，
则有e=

c

a

=2．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．