Question

如图所示，圆O的直径AB=6．C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则线段AE的长为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30°，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到∠B=∠ACD=60°，∠DAC=30°，从而DC=

1

2

AC=

3 3

2

，AD=

AC2-DC2

=

27- 27 4

=

9

2

，再由切割线定理能求出AE．

解答： 解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3
∴∠BAC=30°，∠B=60°，AC=

36-9

=3

3

，
∵过C作圆的切线l
∴∠B=∠ACD=60°，
∵过A作l的垂线AD，垂足为D
∴∠DAC=30°，∴DC=

1

2

AC=

3 3

2

，AD=

AC2-DC2

=

27- 27 4

=

9

2

，
∵DC是切线，DEA是割线，
∴DC²=DE•DA，∴

27

4

=DE•

9

2

，解得DE=

3

2

，
∴AE=AD-DE=

9

2

-

3

2

=3．
故答案为：3．

点评：本题与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的应用，解题时要注意切割线定理的合理运用．