Question

10．已知函数f（x）=2mlnx-x，g（x）=$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}$（m∈R，e为自然对数的底数）．
（1）试讨论函数f（x）的极值情况；
（2）证明：当m＞1且x＞0时，总有g（x）+3f'（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，对参数m分类讨论，得出函数的极值情况；
（2）g（x）+3f'（x）＞0等价于3e^x-3x²+6mx-3＞0，
构造函数u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，通过二次求导判断导函数的单调性，进而得出u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
得出当x＞0时，u（x）＞u（0）=0，得出结论成立．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{2m}{x}-1$=$-\frac{x-2m}{x}$．
①当m≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）内单调递减，f（x）无极值；
②当m＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜2m；令f'（x）＜0，得x＞2m．
故f（x）在x=2m处取得极大值，且极大值为f（2m）=2mln（2m）-2m，f（x）无极小值．
（2）证明：当x＞0时，g（x）+3f'（x）＞0，
?$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}+\frac{6m}{x}-3＞0?$3e^x-3x²+6mx-3＞0．
设函数u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
则u'（x）=3（e^x-2x+2m）．记v（x）=e^x-2x+2m，
则v'（x）=e^x-2．
当x变化时，v'（x），v（x）的变化情况如下表：

由上表可知v（x）≥v（ln2），
而v（ln2）=e^ln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1），
由m＞1，知m＞ln2-1，
所以v（ln2）＞0，
所以v（x）＞0，即u'（x）＞0．
所以u（x）在（0，+∞）内为单调递增函数．
所以当x＞0时，u（x）＞u（0）=0．
即当m＞1且x＞0时，3e^x-3x²+6mx-3＞0．
所以当m＞1且x＞0时，总有g（x）+3f'（x）＞0．

点评 本题考查了极值的概念和二次求导，利用导数判断函数的单调性，难点是转化思想的应用．