Question

【题目】如图,在梯形中, 于, .将沿折起至,使得平面平面（如图2）, 为线段上一点.

图1 图2

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比；

（Ⅲ）是否存在一点,使得平面?若存在,求的长.若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）折起后仍有,由面面垂直的性质可得平面,

平面, ；（Ⅱ）直接求出三棱锥的体积，利用分割法求出，从而可得结果；（Ⅲ）根据三角形相似可得,由线面平行的性质定理可得,由中位线定理可得,,在中, ,.

试题解析：（Ⅰ）在梯形中,因为,所以,

平面平面, 平面平面,

平面,平面,

平面, .

（Ⅱ）为中点,

到底面的距离为,

在梯形中, ,

,.

,在中, ,

平面, 平面,

平面平面,

平面平面, ,

到平面的距离为.

,.

.

（Ⅲ）连结交于,连结,

在四边形中,

,

,

,

平面,平面平面,

,

在中, ,

,

,

在中, ,.