【题目】(题文)已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.
(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;
(2)若a1=2,设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,若有f(n)=log3Tn,求f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值.
【答案】(1)见解析.(2)-1.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得在等差数列{an}中,an=na1,根据b1=2a1,b2=4a1可得等比数列的公比为q=2,故bn=2n·a1,由于2n∈N*,故数列{bn}中的每一项都是{an}中的项.(2)由(1)可得,故用列项相消法求和即可.(3)结合(2)可得f(n)=log3Tn=log3
,由对数的运算性质可得f(1)+f(2)+…+f(n)
,令
,作差可得
单调递减,从而可得所求最值.
试题解析:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
由S4+a2=2S3,得4a1+6d+a1+d=6a1+6d,
∴a1=d,
∴an=a1+(n-1)d=na1,
由题意得b1=2a1,b2=4a1,
∴等比数列{bn}的公比q==2,
∴bn=2a1·2n-1=2n·a1,
∵2n∈N*,
∴数列{bn}中的每一项都是{an}中的项.
(2)当a1=2时,bn=2n+1,
∴
∴Tn=c1+c2+…+cn
=2[(-
)+(
-
)+…+(
-
)]=2(
-
)=
.
(3)由题意得f(n)=log3Tn=log3,
∴f(1)+f(2)+…+f(n)=log3+log3
+…+log3
=log3(
·
·…·
)
令,
则,
∴,故
单调递减,
∴.
∴f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值为-1.
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | ﹣5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.
(3)若,求
的值.
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【题目】如图,在梯形
中,
于
,
.将
沿
折起至
,使得平面
平面
(如图2),
为线段
上一点.
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若为线段
中点,求多面体
与多面体
的体积之比;
(Ⅲ)是否存在一点,使得
平面
?若存在,求
的长.若不存在,请说明理由.
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【题目】石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩,现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:
(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;
(2)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,记事件为“其中2个成绩分别属于不同的同学”,求事件
发生的概率.
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【题目】已知、
是椭圆
(
)的左、右焦点,过
作
轴的垂线与
交于
、
两点, 与
轴交于点
,
,且
,
为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设为椭圆
上任一异于顶点的点,
、
为
的上、下顶点,直线
、
分别交
轴于点
、
.若直线
与过点
、
的圆切于点
.试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
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【题目】已知椭圆C: 的离心率与双曲线
的离心率互为倒数,且过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过作两条直线
与圆
相切且分别交椭圆于M、N两点.
① 求证:直线MN的斜率为定值;
② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点).
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