Question

【题目】（题文）已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4.

(1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项；

(2)若a1＝2，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；

(3)在(2)的条件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析．(2)－1．

【解析】试题分析：

（1）由题意可得在等差数列{an}中，an＝na1，根据b1＝2a1，b2＝4a1可得等比数列的公比为q＝2，故bn＝2n·a1，由于2n∈N*，故数列{bn}中的每一项都是{an}中的项．（2）由（1）可得，故用列项相消法求和即可．（3）结合（2）可得f(n)＝log3Tn＝log3，由对数的运算性质可得f(1)＋f(2)＋…＋f(n) ，令，作差可得单调递减，从而可得所求最值．

试题解析：

(1)设等差数列{an}的公差为d，

由S4＋a2＝2S3，得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，

∴a1＝d，

∴an＝a1＋(n－1)d＝na1，

由题意得b1＝2a1，b2＝4a1，

∴等比数列{bn}的公比q＝＝2，

∴bn＝2a1·2n－1＝2n·a1，

∵2n∈N*，

∴数列{bn}中的每一项都是{an}中的项．

(2)当a1＝2时，bn＝2n＋1，

∴

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝2[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(－)＝．

(3)由题意得f(n)＝log3Tn＝log3，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log3＋log3＋…＋log3＝log3(··…·)

令，

则，

∴，故单调递减，

∴．

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值为－1．