Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点．

① 求证：直线MN的斜率为定值；

② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②

【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得，（2）①先根据点斜式得直线方程，再与椭圆方程联立解得坐标，根据直线与圆相切，得斜率相反，同理可得最后根据斜率公式求斜率，②设直线MN方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.

试题解析：（1）可得，设椭圆的半焦距为，所以，

因为C过点，所以，又，解得，

所以椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　

（2）① 显然两直线的斜率存在，设为， ，

由于直线与圆相切，则有，

直线的方程为， 联立方程组

消去，得，　　

因为为直线与椭圆的交点，所以，

同理，当与椭圆相交时， ，

所以，而，

所以直线的斜率．　　　　　　　

② 设直线的方程为，联立方程组消去得，

所以，

原点到直线的距离，　　　　　　　　

面积为，

当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．

所以面积的最大值为．