Question

18．已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB=2AC，若四面体P一ABC的体积为$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，则该球的表面积为9π．

Answer 1

分析 如图所示，球心O在AB上，可得∠BCA=90°．设AC=x，可得AB=2x，BC=$\sqrt{3}$x．由PO⊥平面ABC，可得PO=OA=x为高．利用三棱锥的体积计算公式、球的表面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵球心O在AB上，∴∠BCA=90°．
设AC=x，∵AB=2AC，∴AB=2x．
∴BC=$\sqrt{3}$x．
∵PO⊥平面ABC，∴PO=OA=x为高．
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PO=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}{x}^{2}$×x=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，解得x=$\frac{3}{2}$=r，
∴该球的表面积S=4$π×（\frac{3}{2}）^{2}$=9π．
故答案为：9π．

点评 本题考查了勾股定理、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．