Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为$\sqrt{2}$，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（-2，0）．
（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．由点P（-2，0）在双曲线上，可得a=2．利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，可得c．利用c²=a²+b²，可得b．即可得出方程及其渐近线方程．
（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F₁（-2，0），F₂（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．

解答 解：（1）由题意，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．
∵点P（-2，0）在双曲线上，∴a=2．
∵双曲线C的离心率为$\sqrt{2}$，∴c=2$\sqrt{2}$．
∵c²=a²+b²，∴b=2．
∴双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
其渐近线方程为：y=±x．
（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，
直线l与坐标轴交点分别为F₁（-2，0），F₂（0，4）．
∴以F₁（-2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y²=-8x；
以F₂（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x²=16y．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、直线与坐标轴相交问题问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．