Question

15．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2$\sqrt{3}$，则此三棱柱外接球的表面积是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$π
• B． $\frac{28}{3}$π
• C． 3π
• D． $\frac{4}{3}$π

Answer 1

分析 由题意可得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²×a=2$\sqrt{3}$，解得a．设此三棱柱外接球的半径为R，利用勾股定理可得R²．再利用球的表面积计算公式即可得出．

解答 解：由题意可得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²×a=2$\sqrt{3}$，解得a=2．
设此三棱柱外接球的半径为R，则R²=$（\frac{1}{2}×2）^{2}$+$（\frac{2}{3}×\sqrt{3}）^{2}$=$\frac{7}{3}$．
∴此三棱柱外接球的表面积S=4πR²=$\frac{28π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了勾股定理、等边三角形的面积计算公式、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．