Question

9．已知数列{log₂x_n}是公差为1的等差数列，数列{x_n}的前100项的和等于100，求数列{x_n}的前200项的和．

Answer 1

分析 数列{log₂x_n}是公差为1的等差数列，可得log₂x_n+1-log₂x_n=$lo{g}_{2}\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=2．由于数列{x_n}的前100项的和等于100，利用等比数列的前n项和公式可得x₁．再利用等比数列的前n项和公式可得数列{x_n}的前200项的和．

解答 解：∵数列{log₂x_n}是公差为1的等差数列，
∴log₂x_n+1-log₂x_n=$lo{g}_{2}\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=2，
∴数列{x_n}是等比数列，公比为2．
∵数列{x_n}的前100项的和等于100，
∴$\frac{{x}_{1}（{2}^{100}-1）}{2-1}$=100，
即x₁=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$．
∴数列{x_n}的前200项的和=$\frac{{x}_{1}（{2}^{200}-1）}{2-1}$=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$×（2²⁰⁰-1）=100（2¹⁰⁰+1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．