Question

1．设函数f（x）=|x+2|-|x-3|-a
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（x）≤$\frac{4}{a}$对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，可得|x+2|-|x-3|≤|（x+2）-（x-3）|=5，即可得到f（x）的最大值；
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{4}{a}$对任意x∈R恒成立，即为f（x）_max=5-a≤$\frac{4}{a}$，解不等式可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|-|x-3|-1，
由|x+2|-|x-3|≤|（x+2）-（x-3）|=5，
故f（x）≤4，
所以，当x≥3时，f（x）取得最大值，且为4；
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{4}{a}$对任意x∈R恒成立，即为f（x）_max=5-a≤$\frac{4}{a}$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-5a+4≥0}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥4或a≤1}\end{array}\right.$，
即为a≥4或0＜a≤1．
即有a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题的解法，同时考查运算能力，属于中档题．