Question

16．已知m∈R，函数f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx，g（x）=$\frac{1}{x}$+lnx．
（1）求g（x）在x=1处的切线方程；
（2）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程；
（2）求导函数，y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，转化为y′=m+$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的导数为
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
g（x）在x=1处的切线斜率为k=0，
切点为（1，1），
即有g（x）在x=1处的切线方程为y=1；
（2）∵y=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-lnx=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx，
∴y′=m+$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在x∈[1，+∞）上恒成立．
又$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，当且仅当x=1时取得最大值1．
所以m≥1．
所以，实数m的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与切线方程与最值，考查恒成立问题，考查分离参数，确定函数的最值是关键．