Question

6．设p：f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥-5，则p是q的必要不充分条件．

Answer 1

分析 首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：由题意得f′（x）=e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m，
∵f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于$\frac{1}{x}$+4x≥4，当且仅当$\frac{1}{x}$=4x，即x=$\frac{1}{2}$时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e^x+$\frac{1}{x}$+4x＞5
∴m≥-e^x-$\frac{1}{x}$-4x不能得出m≥-5
但当m≥-5时，必有e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分

点评 本题考查充分条件和必要条件以及函数导数与单调性的关系．属于函数恒成立问题，难度较大，综合性强．