Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，\;x≥0\\{（{\frac{1}{2}}）^x}，\;x＜0\end{array}$，若函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有且只有3个零点可化为方程函数f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=0有且只有3个根，从而解得．

解答 解：①若k≥0，则当f（x）≥0时，
f[f（x）]=kf（x）+2≥2，
故$（\frac{1}{2}）^{f（x）}$=$\frac{3}{2}$，
则f（x）=-log₂$\frac{3}{2}$＜0；
而当x＜0时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，
当x≥0时，f（x）=kx+2≥2，
故不存在x，使f（x）=-log₂$\frac{3}{2}$；
即函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$没有零点；
②若k＜0，则方程kx+2=-log₂$\frac{3}{2}$有一个根；
若f（x）≥0，
则kf（x）+2=$\frac{3}{2}$，
故f（x）=-$\frac{1}{2k}$；
故kx+2=-$\frac{1}{2k}$或$（\frac{1}{2}）^{x}$=-$\frac{1}{2k}$；
故x=-$\frac{1}{2{k}^{2}}$-$\frac{2}{k}$或-$\frac{1}{2k}$＞1；
故x=-$\frac{1}{2{k}^{2}}$-$\frac{2}{k}$≥0或-$\frac{1}{2k}$＞1；
解得，-$\frac{1}{2}$＜k≤-$\frac{1}{4}$；
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．