Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一个周期内的图象如图，求：
（1）函数振幅、周期和初相并写出f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求直线y=$\sqrt{2}$与函数y=f（x）的图象的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得A，T，利用周期公式可解得ω，由函数图象经过点（$\frac{π}{12}$，2）点，可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=2，结合范围|φ|≤π，可得φ，从而得解．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（3）由$\sqrt{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：2x+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{4}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{3π}{4}$，k∈Z，即可解得直线y=$\sqrt{2}$与函数y=f（x）的图象的交点坐标．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$）=π，可解得：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
由函数图象经过点（$\frac{π}{12}$，2）点，可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=2，解得：φ+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，又|φ|≤π，可得φ=$\frac{π}{3}$．
故f（x）的函数振幅为2，周期为π，初相为$\frac{π}{3}$，解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）由$\sqrt{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
从而解得：2x+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{4}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{3π}{4}$，k∈Z，
解得：x=kπ$-\frac{π}{24}$或x=kπ+$\frac{5π}{24}$，k∈Z．
故直线y=$\sqrt{2}$与函数y=f（x）的图象的交点坐标为：（kπ$-\frac{π}{24}$，$\sqrt{2}$或（kπ+$\frac{5π}{24}$，$\sqrt{2}$）k∈Z．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，复合三角函数的单调性，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．