Question

14．对于函数f（x）=ae^x+x，若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集为[m，n]（m＜n），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{e}$，0）∪（0，+∞）
• B． [-$\frac{1}{e}$）∪（0，+∞）
• C． （-$\frac{1}{e}$，0）
• D． [-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 将f（x）≥0转化ae^x≥-x，进而转化为a的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到a的取值范围．

解答 解：若f（x）≥0，则ae^x≥-x（e是自然对数的底数），
转化为a≥$-\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$-\frac{x}{{e}^{x}}$，
则y′=$\frac{（x-1）}{{e}^{x}}$，
令y′=0，可得x=1，
当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．
则当x=1时，函数y取得最小值-$\frac{1}{e}$，
由于存在实数m、n，使得f（x）≥0的解集为[m，n]，

则由函数y=$-\frac{x}{{e}^{x}}$的图象可得a的取值范围为（-$\frac{1}{e}$，0），
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．