Question

11．已知函数f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求g（a）=-a•|a+3|+2的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的值域为[0，+∞）便有△=0，这样即可解出a；
（2）由f（x）≥0恒成立，便有△=16a²-4（2a+6）≤0，这样便可解出$-1≤a≤\frac{3}{2}$，根据a的范围便可去绝对值号得到g（a）=-a²-3a+2，根据该二次函数的对称轴即可判断g（a）在区间$[-1，\frac{3}{2}]$上的单调性，从而求出g（a）的值域．

解答 解：（1）由题知f（x）的开口向上，值域为[0，+∞）；
∴△=16a²-4（2a+6）=0；
∴2a²-a-3=0；
∴a=-1或a=$\frac{3}{2}$；
（2）f（x）≥0恒成立，∴△≤0；
∴16a²-4（2a+6）≤0；
解得-1≤a≤$\frac{3}{2}$；
∴g（a）=-a（a+3）+2=-a²-3a+2，（-1≤a≤$\frac{3}{2}$）；
g（a）的对称轴为a=-$\frac{3}{2}$，开口向下；
∴g（a）在[-1，$\frac{3}{2}$]上是减函数，g（-1）=-1+3+2=4，g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{19}{4}$；
∴函数g（a）的值域为[-$\frac{19}{4}$，4]．

点评 考查二次函数的图象和x轴的位置关系同判别式△取值的关系，解一元二次不等式，根据二次函数的对称轴判断二次函数在一闭区间上的单调性的方法，根据单调性求函数在闭区间上值域的方法，要熟悉二次函数的图象．