Question

19．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出函数y=|2x+1|-|x-3|的图象，可得它的图象与直线y=4的交点为（-8，4）和（2，4），从而求得|2x+1|-|x-3|≤4的解集．
（2）由y=|2x+1|-|x-3|的图象可知f（x）_min=-$\frac{7}{2}$，由题意可得-a≥f（x）_min，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）y=|2x+1|-|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-2，-\frac{1}{2}＜x＜3}\\{x+4，x≥3}\end{array}\right.$，作出函数y=|2x+1|-|x-3|的图象，
可得它的图象与直线y=4的交点为（-8，4）和（2，4）．
则|2x+1|-|x-3|≤4的解集为[-8，2]．
（2）由y=|2x+1|-|x-3|的图象可知当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=-$\frac{7}{2}$，
∴存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于-a≥f（x）_min，
等价于a≤$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查对由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．