Question

14．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如图A，B两点的纵坐标分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{13}$，求cosα和cosβ的值．
（2）在（1）的条件下，求cos2（β-α）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，即可求出sinα、sinβ、cosα、cosβ．
（1）利用cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，结合cos2（β-α）=2cos²（β-α）-1进行求值即可．

解答 解：（1）∵A、B两点的纵坐标分别为$\frac{4}{5}$、$\frac{12}{13}$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{12}{13}$，
∵α为锐角、β为钝角，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=-$\frac{5}{13}$．
（2）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{33}{65}$．
∴cos2（β-α）=2cos²（β-α）-1=2×（$\frac{33}{65}$）²-1=$-\frac{2047}{4225}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，利用两角和差的余弦公式以及倍角公式是解决本题的关键．