Question

6．已知函数f（x）=x²e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出其单调区间即可；
（2）先求出f（x）在[-1，2]上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间为[-2，0]．
（2）由上可知：函数f（x）在[-1，0]上递减，在[0，2]递增，
故f（x）_min=f（0）=0，
又f（2）=4e²＞f（-1）=$\frac{1}{e}$，
故函数f（x）在[-1，2]上的最大值为4e²，最小值为0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．