Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=3x²-2x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前项n和，求使得T_n＜$\frac{m}{30}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）根据条件得到S_n=3n²-2n，进行求解即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）均在函数y=3x²-2x的图象上．
∴S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5，
当n=1时，a₁=3-2=1满足a_n，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5；
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
则T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）$＜\frac{1}{3}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{30}$对所有n∈N^*都成立，
则$\frac{m}{30}$$≥\frac{1}{3}$，
即m≥10，
即m的最小正整数m=10．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．