Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的二项式系数之和比（a+b）²ⁿ的展开式的系数之和小240，则（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中系数最大的项是6$\root{3}{x}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出2²ⁿ-2ⁿ=240，解方程得n的值，从而求出（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁴的展开式中系数最大的项．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式的二项式系数之和为2ⁿ，（a+b）²ⁿ的展开式的系数之和为2²ⁿ；
∴2²ⁿ-2ⁿ=240，
解得2ⁿ=16或2ⁿ=-15（不合题意，舍去）；
∴n=4，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁴的展开式中系数最大的项是T₃=${C}_{4}^{2}$•${（\sqrt{x}）}^{2}$•${（\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{2}$=$6\root{3}{x}$．
故答案为：6$\root{3}{x}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．