Question

3．已知函数f（x）=lnx-mx+$\frac{1-m}{x}$（m∈R）
（1）当m≤$\frac{1}{4}$时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2x+n，当m=$\frac{1}{12}$时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调性；
（2）将m的值代入f（x），求出函数的单调性，问题转化为存在x₂∈[1，2]，使得g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m+$\frac{m-1}{{x}^{2}}$=$\frac{-{mx}^{2}+x+m-1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-mx²+x+m-1（x＞0），
当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，令h（x）＜0，得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（$\frac{1}{m}$-1）]，
当m＜0时，$\frac{1}{m}$-1＜0＜1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
当0＜m≤$\frac{1}{4}$时，0＜1＜$\frac{1}{m}$-1，f（x）在（0，1），（$\frac{1}{m}$-1，+∞）递减，在（1，$\frac{1}{m}$-1）递增；
（2）当m=$\frac{1}{12}$时，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，
对任意的x∈（0，2），都有f（x₁）≥f（1）=$\frac{5}{6}$，
又已知存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴g（x₂）≤$\frac{5}{6}$，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]，使得g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$，
n-1≤$\frac{5}{6}$，即n≤$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查分类讨论，是一道中档题．