Question

20．已知正数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 解法一：构造等式关系，利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：换元法，利用三角函数的有界限求最小值．

解答 解：解法一：∵x＞0，y＞0，x²+y²=1
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$＞0，则有：（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）²=$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}+\frac{2}{xy}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{2}{xy}$≥2+2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}•\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}+\frac{2}{xy}$
=4+$\frac{2}{xy}$当且仅当$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$即x=y时取等号．
由∵1=x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时取等号．
∴$\frac{1}{2}≥xy$
所以：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$
故选B．
解法二：换元法，
由题意：x＞0，y＞0，x²+y²=1
设：x=sinθ，y=cosθ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）
则有：1≥2sinθ•cosθ
∴$\frac{1}{2}≥sinθ•cosθ$
$sinθ+cosθ≥2\sqrt{sinθ•cosθ}$当且仅当sinθ=cosθ时，即θ=$\frac{π}{4}$时，取等号．
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{sinθ}+\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ•cosθ}$≤$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$．当且仅当sinθ=cosθ时，即θ=$\frac{π}{4}$时，取等号．
所以：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$
故选B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．