Question

10．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为$\frac{1}{12}$，若函数f（x）在$（{\frac{-1-k}{2}，\frac{-1+k}{2}}）$上单调增，求k的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数与x轴在原点处相切，建立方程关系即可求出b，结合积分的应用，求出对应区域的面积，求出a，求出函数的导数，解函数单调性和导数之间的关系建立不等式进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）的图象与x轴在原点处相切，
∴f′（0）=0，
∵f′（x）=-3x²+2ax+b，
∴f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=-x³+ax²=-x²（x-a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=a，
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（a，0），（a＜0），
故|f（x）|从a到0求定积分即为所求面积，即∫_-a⁰|f（x）|dx=∫_-a⁰[-f（x）]dx=$\frac{1}{12}$，
即∫_-a⁰（-x³+ax²）dx=（-$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{3}$ax³）|${\;}_{a}^{0}$=$\frac{1}{4}$a⁴-$\frac{1}{3}$a⁴=$\frac{1}{12}$，
即a⁴=1，解得a=-1．
则f（x）=-x³-x²，
函数的导数f′（x）=-3x²-2x，
由f′（x）＞0得-$\frac{2}{3}$＜x＜0，即函数的单调递增区间为[-$\frac{2}{3}$，0]，
∵函数f（x）在$（{\frac{-1-k}{2}，\frac{-1+k}{2}}）$上单调增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1-k}{2}≥-\frac{2}{3}}\\{\frac{-1+k}{2}≤0}\\{\frac{-1-k}{2}＜\frac{-1+k}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k≤\frac{1}{3}}\\{k≤1}\\{k＞0}\end{array}\right.$，即0＜k≤$\frac{1}{3}$，
即k的取值范围是0＜k≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了导数的几何意义以及定积分在求面积中的应用，考查了计算能力和识图能力，属于中档题．