Question

5．点P（-3，1）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左准线（$x=-\frac{a^2}{c}$）上．过点P且方向为$\overrightarrow a$=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$

Answer 1

分析 根据直线的方向向量，求得直线PQ的斜率，求得直线PQ的方程，求得与x=-2的交点坐标，求得反射直线QF₁的方程，求得F₁坐标，求得c的值，根据$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，求得a的值，由椭圆的离心率公式即可求得e．

解答 解：如图，过点P（-3，1）的方向 $\overrightarrow a$=（2，-5）
∴直线PQ的斜率为：k_PQ=-$\frac{5}{2}$，
根据直线方程的点斜式得：l_PQ的方程为y-1=-$\frac{5}{2}$（x+3），
与y=-2的交点为 （-$\frac{9}{5}$，-2）光线经过直线y=-2反射后所在的直线方程为y+2=$\frac{5}{2}$（x+$\frac{9}{5}$），与x轴的交点（-1，0）即为椭圆的左焦点
得：c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，则a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案选：A．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质、考查直线方程的求法，利用对称性求解直线方程，属于中档题．