Question

关于函数f（x）=sinx+cosx下列命题正确的是（　　）

• A、函数f（x）最大值为2
• B、函数f（x）的一条对称轴为x=

  π

  4

• C、函数f（x）的图象向左平移

  π

  4

  个单位后对应的函数是奇函数
• D、函数y=|f（x）|的周期为2π

Answer 1

分析：把f（x）利用两角和的正弦函数公式化成一个三角函数，图象如图，根据函数的图象得到函数的最大值，对称轴，平移后图象的奇偶性，和函数的周期，得到正确答案．

解答：解：f（x）=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

（sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

）=

2

sin（x+

π

4

）
根据-1≤sin（x+

π

4

）≤1得到-

2

≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，所以函数f（x）的最大值为

2

，A错；
根据图象可知函数f（x）的一条对称轴为x=

π

4

，B正确；
函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位后对应的函数是偶函数，C错；
函数y=|f（x）|的图象即为把图中的x轴以下的部分对称到x轴上面，函数y的周期应为kπ+

3π

4

k∈Z，所以2π不是函数的周期，D错．
故选B．

点评：考查学生利用数形结合的思想解决数学问题，要求学生灵活两角和与差的正弦函数公式化简求值，会求函数的周期及掌握函数的平移的规律，会求函数的周期．