Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{-cos（\frac{π}{3}x），3≤x≤9}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄满足f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁•x₂•x₃•x₄的取值范围是（27，$\frac{135}{4}$）．

Answer 1

分析 画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x₁x₂=1，x₃+x₄=12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．

解答 解：解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{-cos（\frac{π}{3}x），3≤x≤9}\end{array}\right.$的图象，
令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，
作出直线y=a，
由x=3时，f（3）=-cosπ=1；x=9时，f（9）=-cos3π=1．
由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．
由图象可得0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜4.5，7.5＜x₄＜9，
则|log₃x₁|=|log₃x₂|，即为-log₃x₁=log₃x₂，可得x₁x₂=1，
由y=-cos（$\frac{π}{3}$x）的图象关于直线x=6对称，可得x₃+x₄=12，
则x₁•x₂•x₃•x₄=x₃（12-x₃）=-（x₃-6）²+36在（3，4.5）递增，
即有x₁•x₂•x₃•x₄∈（27，$\frac{135}{4}$）．
故答案为：（27，$\frac{135}{4}$）．

点评 本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．