Question

如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2,1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2,0) ．

（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

 

Answer 1

（1）（2）（,1）

【解析】

试题分析：（1）先对原函数求导，然后求出斜率，再利用 进行整理即可．

(2)先设方程为 与 联立，结合根与系数的关系以及判别式得到再由

得，即可

（1）由得, ∴．∴直线的斜率为，

故的方程为，∴点A的坐标为(1,0)． (2分)

设,则(1,0),,，由

得，整理，得． (4分)

(2)方法一:如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 ①，将①代入，整理，得,设,,则②得 (7分)

令， 则，由此可得 ，

，且．∴

由②知 ，．

∴, (10分)

∵，∴，解得 且 (12分)

又∵， ∴，

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）． (13分)

方法二: 如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’ 方程为 ①，将①代入，整理，得,设,,则 ② ; (7分)

令， 则，由此可得 ， ，且．

∴ (10分)

∵, ∴,解得 且 (12分)

又∵， ∴，

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）． (13分)

考点：函数求导；根与系数的关系；斜率公式；不等式的解法．