Question

3．函数f（x）=sin2x+cos2x的最小正周期为π，单调增区间为$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]，k∈Z$．

Answer 1

分析 用三角恒等变换化简函数f（x），利用正弦函数的周期公式即可求出f（x）的最小正周期；进而根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调增区间即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
∴kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间是$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]，k∈Z$．
故答案为：π，$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]，k∈Z$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．