Question

12．已知抛物线W的顶点在原点，且焦点为F（1，0），不经过焦点F的直线l与抛物线W相交于A，B两点，且抛物线W上存在一点C，使得四边形ACBF为平行四边形．
（I）求抛物线W的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线l恒过定点；
（Ⅲ）求四边形ACBF面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），由$\frac{p}{2}$=1，解得p即可得出．
（2）设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，由四边形ACBF为平行四边形，可得$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}$，可得$\overrightarrow{OC}$，把点C坐标代入抛物线W方程可得：y₁y₂=-2．直线l的方程为：（y-y₁）（y₁+y₂）=4x-${y}_{1}^{2}$，令y=0，解得x为定值．
（III）设直线l的方程为：my=x-$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线方程联立化为：y²-4my-2=0，可得|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，点F到直线l的距离d=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$．S_{平行四边形ACBF}=$2×\frac{1}{2}$d|AB|，再利用二次函数的性质即可得出．

解答 （I）解：由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0）．
∵焦点为F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴抛物线W的标准方程为y²=4x．
（2）证明：设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，
$\overrightarrow{FA}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{2}）$．
∵四边形ACBF为平行四边形，
∴$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-2，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OF}$+$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-2，{y}_{1}+{y}_{2}）$=$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∵点C在抛物线W上，∴$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$=4$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-1）$，
化为：y₁y₂=-2．
直线l的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，
化为：（y-y₁）（y₁+y₂）=4x-${y}_{1}^{2}$，
令y=0，可得：-y₁y₂=4x，∴2=4x，解得x=$\frac{1}{2}$．
∴直线l经过定点$（\frac{1}{2}，0）$．y₁+y₂=0时也成立．
∴直线l恒经过定点$（\frac{1}{2}，0）$．
（III）解：设直线l的方程为：my=x-$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my-2=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-2．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}+8）}$=2$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{m}^{2}+2]}$．
点F到直线l的距离d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_{平行四边形ACBF}=$2×\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$×2$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{m}^{2}+2]}$=$\sqrt{4{m}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$，当且仅当m=0时取等号．
∴l⊥x轴时，四边形ACBF面积的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．